آزمون ناپارامتری نشانه (علامت)

این آزمون معادل ناپارامتری آزمون تی زوجی است به این ترتیب برای انجام آن نیازی به پیش شرط توزیع نرمال برای مشاهدات نیست.

در آزمون نشانه نیز مانند آزمون تی زوجی، بر روی پاسخگویان ثابتی روش مشخصی (تجویز دارو یا آموزش) اعمال می شود و سپس اختلاف نمرات پاسخگویان قبل و بعد از اعمال این روش با یکدیگر مقایسه می شود. نوع متغیر در این آزمون معمولاً ترتیبی، حجم نمونه کوچک و توزیع مشاهدات عموماً چوله یا دارای مقادیر دورافتاده است. در صورتی که توزیع اختلاف نمرات پاسخگویان (اختلاف نمره بعد و قبل از اعمال روش) پیوسته نبوده و حول میانه، متقارن نباشد از آزمون نشانه و در صورتی که این توزیع پیوسته و نسبت به میانه متقارن باشد از آزمون رتبه ای علامتدار ویلکاکسون استفاده می شود. آزمون رتبه ای علامتدار ویلکاکسون آزمونی قوی تر از آزمون نشانه است در عین حال آزمون نشانه نیاز به پیش فرض های کمتری دارد در نتیجه آزمونی جامع تر محسوب می شود.

فرض کنید نمرۀ متغیر قبل از اعمال روش را x و نمرۀ آن بعد از اعمال روش را y در نظر بگیریم، در این صورت آزمون نشانه معادل ساده ترین نوع آزمون باینومیال با پارامتر 0.5=p خواهد بود یعنی با احتمال 50 درصد اختلاف نمرات قبل و بعد از اعمال روش، مثبت یا 0.5= (0<P(y-x

و با احتمال 50 درصد این اختلاف، منفی یا 0.5= (0<P(y-x در نظر گرفته می شود.

فرض اولیه برای آزمون نشانه: (P(x>y)=p(x<y

فرض مخالف برای آزمون نشانه: (P(x>y)>p(x<y یا (P(x>y)<p(x<y

آزمون پارامتری تی زوجی

این آزمون صورت تک نمونه ای آزمون تی مستقل است. آزمون تی زوجی به بررسی تأثیر یک روش (قبل-بعد) بر پاسخگویان می پردازد. در این آزمون پاسخگویان یکسانی قبل و بعد از اجرای روش مورد پرسش قرار می گیرند. در تحقیقات مربوط به آزمایش دارو، آموزش و ... از این روش استفاده می شود. به این ترتیب میانگین متغیر قبل و بعد از تجویز دارو یا آموزش با یکدیگر مقایسه شده و در صورت وجود اختلاف معنادار بین میانگین ها، می توان داروی تجویز شده یا آموزش ارائه شده را موثر دانست.

با وجودیکه یکی از پیش فرض های لازم برای آزمون تی زوجی، توزیع تقریباً نرمال برای مشاهدات است اما در صورتی که توزیع نرمال نباشد این آزمون همچنان برای توزیع های متقارن، تک مُدی و پیوسته قابل اجراست. در صورتی که توزیع مشاهدات به شدت چوله باشد یا مقادیر دورافتاده ای در مشاهدات وجود داشته باشد، معادل ناپارامتری این آزمون یعنی آزمون نشانه یا علامت پیشنهاد می شود.

فرض اولیه در آزمون تی زوجی: میانگین متغیر قبل و بعد از اعمال روش با یکدیگر برابر است.

فرض مخالف در آزمون تی زوجی: میانگین متغیر قبل و بعد از اعمال روش با یکدیگر متفاوت است.

آزمون ناپارامتری یو من ویتنی

آزمون یو من ویتنی معادل ناپارامتری آزمون تی مستقل است. در این آزمون تفاوت میانگین رتبه دو جامعه یا تفاوت میانه دو جامعه با یکدیگر مقایسه می شود.

در آزمون من-ویتنی در صورتیکه دو متغیر توزیع مشابهی داشته باشند می توان میانه دو جامعه را با یکدیگر مقایسه کرد.

اگر شکل توزیع دو جامعه کاملاً یکسان باشد نمی توان از آزمون یو من-ویتنی استفاده کرد.

و اگر شکل توزیع یکسان نباشد تنها می توان میانگین رتبه دو جامعه را مقابسه کرد. در شکل زیر در سمت چپ توزیع دو جامعه کاملاً یکسان و در سمت راست توزیع دو جامعۀ مشابه آورده شده است.

پیش شرط های مورد نیاز برای انجام آزمون من-ویتنی:

1. متغیر وابسته از نوع ترتیبی (مانند طیف لیکرت) یا پیوسته (مانند زمان، وزن و ...) باشد.
2. متغیر مستقل یا گروه بندی دو سطحی (مانند جنس، تأهل و ...) یاشد.
3. مشاهدات مستقل از یکدیگر باشند.
4. توزیع دو جامعه نرمال نباشد و توزیع دو جامعه یکسان نیز نباشد.

در صورتی که هر یک از شرط های بالا برقرار نباشد نمی توان این آزمون را انجام داد.

فرض اولیه در آزمون یو من-ویتنی: میانگین رتبه یا میانه دو جامعه با یکدیگر برابر است.

فرض مخالف در آزمون یو من-ویتنی: میانگین رتبه یا میانه دو جامعه با یکدیگر برابر نیست.

آزمون ناپارامتری کروسکال والیس

آزمون کروسکال والیس نسخۀ ناپارامتری آزمون آنالیز واریانس (ANOVA) است به این معنی که نیازی به دانستن توزیع مشاهدات نیست. در این آزمون نیز متغیر مستقل یا گروه بندی یک متغیر چند سطحی مانند تحصیلات (بیسواد، دیپلم، لیسانس و ...) است. با این که یکی از پیش فرض های مورد نیاز برای آزمون آنوا (ANOVA)، توزیع نرمال برای مشاهدات است، با این حال تحقیقات نشان داده آزمون آنوا به مقدار زیادی نسبت به انحراف از توزیع نرمال مانند کشیدگی، چولگی و ... حتی در نمونه های کوچک، استوار است یعنی همچنان نتایج آن معتبر است. به عبارتی:

• توصیه می شود تنها زمانیکه متغیر وابسته رتبه ای است از آزمون کروسکال والیس استفاده شود.
• زمانیکه متغیر وابسته کمیست و واریانس دو یا چند جامعه بایکدیگر برابر است (شکل توزیع مشابه است) بهتر است از آزمون آنوا استفاده شود.
• در شرایطی که متغیر وابسته کمیست و واریانس دو یا چند جامعه با یکدیگر برابر نیست (نا هم پراشی یا شکل توزیع مشابه نیست) نیز آنوای ولچ (welch's anova) پیشنهاد می شود.

در صورتی که شکل چند جامعه مشابه و متغیر وابسته رتبه ای باشد، آزمون کروسکال والیس به بررسی تفاوت میانه ها می پردازد.

در صورتی که شکل جامعه ها مشابه نباشد و متغیر وابسته رتبه ای باشد، آزمون کروسکال والیس به بررسی تفاوت میانگین رتبه ای می پردازد. در شکل زیر توزیع سه جامعه آورده شده است، شکل سمت چپ مربوط به توزیع های مشابه (واریانس های برابر ) و شکل سمت راست مربوط به توزیع های متفاوت است:

فرض اولیه برای آزمون کروسکال-والیس: میانه یا میانگین رتبۀ تمام گروه ها با یکدیگر برابر است.

فرض مخالف برای آزمون کروسکال-والیس: میانه یا میانگین رتبۀ حداقل یکی از گروه ها با سایرین برابر نیست.

آزمون پارامتری رگرسیون

آزمون رگرسیون حالت خاصی از دو آزمون تی مستقل و آنالیز واریانس (آنوا) است. در این آزمون بر خلاف دو آزمون دیگر، متغیر مستقل کیفی نیست بلکه مانند متغیر وابسته مقداری کمی دارد به عنوان مثال بررسی تأثیر میزان کود بر میزان محصول.

آزمون رگرسیون شباهت بسیاری با آزمون همبستگی پیرسون نیز دارد با این تفاوت که در آزمون رگرسیون متغیر وابسته و مستقل مشخص است اما در آزمون همبستگی پیرسون نمی توان تعیین کرد کدام متغیر وابسته و کدام مستقل است.

با استفاده از آزمون رگرسیون می توان موارد زیر را مشخص کرد:

• شدت رابطه خطی (r): این آماره میزان ارتباط خطی متغیر/متغیرهای مستقل با متغیر وابسته را نشان می دهد، هر قدر میزان آمارۀ r به 1 نزدیکتر باشد رابطۀ خطی نیز قوی تر است.
• کیفیت برازش مدل (مربع r): این آماره میزان موفقیت متغیرهای مستقل در تبیین تغییرات متغیر وابسته را نشان می دهد، هر قدر مقدار آن به 1 نزدیک تر باشد، مدل بهتر تبیین شده است.
• میزان خطا
• میزان تأثیر هر متغیر مستقل (با ثابت نگهداشتن اثر سایر متغیرها) بر متغیر وابسته

رگرسیون خطی به دو دسته رگرسیون ساده (دارای یک متغیر مستقل) و رگرسیون چندگانه (دارای دو یا چند متغیر مستقل) تقسیم می شود. 

با استفاده از رگرسیون چندگانه می توان متغیر مستقلی که بیشترین نقش در پیش بینی متغیر وابسته دارد را شناسایی کرد به عنوان مثال در صورتی که در تحقیقی متغیرهای مستقل تعداد اتاق ها، وسعت بنا، متوسط درآمد ساکنان منطقه و ... در نظر گرفته شود و هدف بررسی میزان تأثیر آن ها بر متغیر وابستۀ میزان فروش املاک باشد، می توان با آزمون رگرسیون متغیری را که بیشترین تأثیر در فروش دارد را شناسایی کرد، به طور نمونه نتایج رگرسیون ممکن است نشان دهد تعداد اتاق ها نسبت به متراژ بنا یا درآمد ساکنان، نقش موثرتری در فروش مستقلات دارد. 

فرض اولیه برای آزمون رگرسیون: متغیر یا متغیرهای مستقل تأثیر معناداری بر متغیر وابسته ندارد.

فرض مخالف برای آزمون رگرسیون: حداقل یکی از متغیرهای مستقل تأثیر معناداری بر متغیر وابسته دارد.

آزمون پارامتری تحلیل واریانس یک طرفه (ANOVA)

این آزمون حالت کلی تری از آزمون تی مستقل است. در آزمون تحلیل واریانس متغیر مستقل یا متغیر گروه بندی بیش از دو سطح دارد به عنوان مثال تحصیلات (بیسواد، دیپلم، لیسانس و ...) و متغیر وابسته از نوع کمی می باشد. 

برای بررسی تفاوت میانگین بین چند گروه (بیش از دو گروه) از این آزمون استفاده می شود به عنوان مثال بررسی تفاوت میانگین درآمد پاسخگویان بر حسب تحصیلات.

از آنجایی که این آزمون پارامتری است پیش شرط نرمال بودن برای انجام آن الزامیست.

در صورتیکه آزمون ANOVA معنادار شود (یعنی میانگین حداقل یکی از گروه ها با سایرین برابر نباشد) معمولاً در ادامه آزمون توکی-شفه نیز انجام می شود زیرا آزمون ANOVA تنها وجود اختلاف بین میانگین ها را نشان می دهد و مشخص نمیکند میانگین کدام گروه یا گروه ها با سایرین متفاوت است اما با استفاده از آزمون توکی می توان گروه یا گروه های مورد نظر را شناسایی کرد.

فرض اولیه برای آزمون ANOVA: برابری میانگین تمام گروه ها

فرض مخالف برای آزمون ANOVA: تفاوت میانگین حداقل یکی از گروه ها با سایرین

آزمون پارامتری t دو نمونه ای

آزمون تی دو نمونه ای یا t مستقل جزو آزمون های پارامتری است. این آزمون برای مقایسۀ میانگین دو جامعه کاربرد دارد به عنوان مثال بررسی تفاوت میانگین نمرۀ ادبیات دانش آموزان دختر و پسر. در این آزمون یک متغیر، متغیر مستقل یا متغیر گروه بندی است مانند جنس، وضعیت تأهل و متغیر دیگر متغیر وابسته محسوب می شود مانند نمره، قد یا هر متغیر کمی دیگری.

آزمون تی مستقل معمولاً برای نمونه های کوچک استفاده می شود، در این آزمون واریانس جامعه معلوم نیست. در صورتی که حجم نمونه زیاد باشد به جای این آزمون از آزمون z یا آزمون نرمال استفاده می شود.

زمانیکه متغیر گروه بندی یا متغیر مستقل دو بعدی باشد مانند جنس (زن، مرد)، وضعیت تأهل (مجرد، متأهل)، وضعیت شغلی (شاغل، بیکار) و ... و متغیر وابسته کمی باشد از این آزمون استفاده می شود. در حالیکه اگر متغیر مستقل بیش از دو بعد داشته باشد مانند تحصیلات (بیسواد، دیپلم، لیسانس، فوق لیسانس و ...)، وضعیت تأهل (مجرد، متأهل، بیوه و ...)، نوع شغل (کارمند، کارگر، آزاد، بازنشسته و ...) از آزمون آنالیز واریانس یا F استفاده می شود.

 فرض اولیه در این آزمون: اختلاف معناداری بین میانگین دو جامعه وجود ندارد.

 فرض مخالف در این آزمون: اختلاف معناداری بین میانگین دو جامعه وجود دارد.

آزمون ناپارامتری همبستگی اسپیرمن

این آزمون ورژن ناپارامتری آزمون همبستگی پیرسون است. در این آزمون متغیرها از نوع ترتیبی، فاصله ای یا نسبتی هستند. 

در متغیرهای نسبتی یا فاصله ای نیز می توان از آزمون پیرسون استفاده کرد اما زمانیکه رابطه بین دو متغیر خطی نیست یا توزیع مشاهدات مشخص نیست (ناپارامتری)، نمی توان از آزمون پیرسون استفاده کرد.

برای استفاده از آزمون اسپیرمن نیازی نیست رابطه دو متغیر خطی باشد بلکه کافیست رابطۀ آن ها یکنوا باشد. در شکل زیر دو رابطه یکنوا و یک رابطه غیریکنوا نشان داده شده است:

در صورتی که رابطه دو متغیر یکنوا نباشد نمی توان از آزمون اسپیرمن استفاده کرد. 

مقدار آزمون اسپیرمن نیز مانند آزمون پیرسون در بازه (1+,1-) قرار دارد، مقادیر نزدیکتر به 1 همبستگی بالاتر و مقادیر نزدیک به 0 همبستگی پایین تر را نشان می دهد. مانند آزمون پیرسون، مقادیر منفی ارتباط معکوس و مقادیر مثبت ارتباط مستقیم را نشان می دهند. ارتباط معکوس به این معنیست که با افزایش یک متغیر، متغیر دیگر کاهش می یابد و ارتباط مستقیم به این معنیست که با افزایش یکی دیگری نیز افزایش می یابد.

 فرض اولیه در این آزمون: عدم ارتباط بین دو متغیر

فرض مخالف: وجود ارتباط معنادار بین دو متغیر

آزمون پارامتری همبستگی پیرسون

آزمون های همبستگی نشان می دهند دو متغیر به چه میزان با یکدیگر همبستگی دارند. آزمون همبستگی پیرسون جزو آزمون های پارامتری محسوب می شود و میزان همبستگی خطی دو متغیر را نشان می دهد.

 مقدار این آزمون در بازه (1+,1-) قرار دارد، هر قدر مقدار آزمون به عدد 1 نزدیکتر باشد، همبستگی بیشتر و هر قدر به 0 نزدیکتر باشد، همبستگی کمتر است. علامت منفی و مثبت نیز به معنی همبستگی معکوس و مستقیم است. در همبستگی معکوس، با افزایش مقادیر یک متغیر مقادیر متغیر دیگر کاهش می یابد و در همبستگی مستقیم با افزایش یکی دیگری نیز افزایش خواهد یافت. 

همبستگی بالا: مقدار آزمون در بازه (0.5,1)

همبستگی متوسط: مقدار آزمون در بازه (0.3,0.5)

همبستگی پایین: مقدار آزمون در بازه (0.1,0.3)

دسته بندی بالا برای مقادیر منفی آزمون نیز برقرار است.

نقاط ضعف همبستگی پیرسون: 

1- در این روش مشخص نیست کدام متغیر مستقل و کدام وابسته است (بر خلاف مثلا آزمون رگرسیون)

2- شیب نمودار مشخص نیست بلکه تنها وجود و شدت همبستگی مشخص است.

 

 فرض اولیه در این آزمون: عدم ارتباط بین دو متغیر

فرض مخالف: وجود ارتباط معنادار بین دو متغیر

تفاوت آلفا (خطای نوع اول) با پ-مقدار (پ-ولیو)

در پایان نامه های رشته های غیرآماری عموماً پ-مقدار را سطح معناداری تعریف کرده و آن را با آلفا یکی می دانند در صورتی که چنین تعریفی اشتباه است.

در تحقیقات برای آلفا یا خطای نوع اول مقداری ثابت در نظر گرفته می شود، این مقدار عموماً 0.05 و یا برای دقت بیشتر 0.01 قرار داده می شود. مقدار آلفا از پیش تعیین می شود و نشان می دهد در تحقیق مذکور حداکثر چه میزان خطایی مجاز در نظر گرفته شده است. آلفا در واقع همان سطح معناداری است که به اشتباه آن را به پ-مقدار نسبت می دهند.

پ-مقدار، احتمال رد فرض اولیه به اشتباه است. فرض اولیه، فرض پایه یا مرجع است که در پست دیگری به آن پرداخته خواهد شد. این فرض اهمیت بسیاری دارد، در صورتی که این فرض به اشتباه رد شود یعنی مرتکب خطا شده ایم، پ-مقدار احتمال چنین خطایی را نشان می دهد.

حال اگر پ-مقدار یا خطای پیش آمده کمتر از 0.05 یا حداکثر خطای مجاز باشد، فرض اولیه را رد می کنیم، چرا که خطای مرتکب شده قابل چشم پوشی است.

اما اگر پ-مقدار بیش از 0.05 باشد، به این معنیست که خطایی بیش از حد مجاز مرتکب شده ایم، در این حالت نمی توان فرض اولیه را رد کرد.

توضیحات فوق در مورد مقادیر دیگر آلفا از جمله 0.01 نیز برقرار است.

به این ترتیب هم آلفا و هم پ-مقدار نشانه نوعی خطا هستند با این تفاوت که آلفا از پیش تعیین می شود و مقداری ثابت دارد اما پ-مقدار از پیش تعیین نشده و پس از نمونه گیری محاسبه می شود و مقدار آن برای تصمیم گیری در مورد فرض اولیه با آلفا مقایسه می شود.

در برخی تحقیقات مقدار آلفا را از پیش تعیین نمی کنند بلکه آن را محاسبه می کنند، از آنجایی که چنین موردی در پایان نامه های غیرآماری مصداق ندارد به آن پرداخته نشده است.